39AM50｜第39回 臨床工学技士国家試験 過去問

正答

4

この問題のポイント

この問題では、並列 RC 回路の複素インピーダンスを求め、図2のベクトル軌跡上でどの点に対応するかを判断します。

図1では、抵抗 R とコンデンサ C が並列に接続されています。

並列回路では、インピーダンス Z よりも先にアドミタンス Yを考えると整理しやすくなります。

• 抵抗のアドミタンス：1 / R
• コンデンサのアドミタンス：jωC
• 全体のアドミタンス：Y = 1 / R + jωC

求めたいのはインピーダンスなので、

• Z = 1 / Y

として計算します。

解説

図1の並列 RC 回路のアドミタンスは次のようになります。

• Y = 1 / R + jωC

したがって、複素インピーダンス Z は、

• Z = 1 / Y
• Z = 1 / (1 / R + jωC)

分母を整理するために R をかけると、

• Z = R / (1 + jωCR)

ここで、

• x = ωCR

とおくと、

• Z = R / (1 + jx)

となります。

分母を実数化します。

• Z = R(1 - jx) / (1 + x^2)

よって、実部と虚部は次のようになります。

• 実部：R / (1 + x^2)
• 虚部：-Rx / (1 + x^2)

この問題では、

• ω = 1 / CR

なので、

• x = ωCR
• x = (1 / CR) × C × R
• x = 1

となります。

したがって、

• 実部 = R / (1 + 1^2) = R / 2
• 虚部 = -R × 1 / (1 + 1^2) = -R / 2

つまり、

• Z = R / 2 - jR / 2

です。

図で見るポイント
図2では、横軸が実軸、縦軸が虚軸です。

並列 RC 回路のインピーダンス軌跡は、実軸上の R から出発し、周波数が高くなるにつれて原点へ近づく下半円になります。

ω = 1 / CR のときは、実部が R / 2、虚部が -R / 2 になるため、図2の最下点であるエに対応します。

また、このときの偏角は、

• tanθ = 虚部 / 実部
• tanθ = (-R / 2) / (R / 2)
• tanθ = -1

となるため、角度は -45° です。

図2でも、エは実部 R / 2、虚部 -R / 2 の位置にあり、45°方向の点として示されています。

ひっかけポイント
直列 RC 回路ではなく、並列 RC 回路であることに注意します。

並列回路では、まずアドミタンスを足してから、最後にインピーダンスへ戻すと計算しやすくなります。

選択肢の確認

1．誤り。
アは実軸上の R の位置です。これは ω = 0 のとき、コンデンサが開放に近い状態となり、回路全体が抵抗 R だけに見える場合に対応します。ω = 1 / CR の点ではありません。

2．誤り。
イは軌跡上で実部が大きく、虚部の絶対値が比較的小さい位置です。ω = 1 / CR のときは実部 R / 2、虚部 -R / 2 となるため、イではありません。

3．誤り。
ウは図中で30°付近の方向にある点です。ω = 1 / CR では偏角が -45°となるため、ウではありません。

4．正しい。
ω = 1 / CR のとき、x = ωCR = 1 です。したがって、

• Z = R / (1 + j)
• Z = R(1 - j) / 2
• Z = R / 2 - jR / 2

となります。図2で実部 R / 2、虚部 -R / 2 の点はエです。

5．誤り。
オは60°付近の方向にある点です。これは ω = 1 / CR のときの偏角 -45°とは一致しません。したがって、ω = 1 / CR に対応する点ではありません。

覚えるポイント

• 図1は抵抗 R とコンデンサ C の並列回路である。
• 並列回路では、まずアドミタンス Yを求めるとよい。
• 並列 RC 回路では、Y = 1 / R + jωC となる。
• インピーダンスは Z = R / (1 + jωCR) で表される。
• ω = 1 / CR のとき、ωCR = 1 である。
• このとき Z = R / 2 - jR / 2 となり、図2ではエに対応する。
• 正答は選択肢4である。