76AM48｜第76回診療放射線技師国家試験過去問

フーリエ変換は、式　F（u）＝∫∞－∞ f（x）e－i2πuxdx　で表される。この式の核関数である e－i2πux は Euler〈オイラー〉の公式を用いるとどのように書けるか。ただし、u：空間周波数、x：位置、f（x）：空間関数、F（u）：f（x）のフーリエ変換、i：虚数単位とする。

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正解: 4

正答

この問題では、フーリエ変換に出てくる複素指数関数を、Euler〈オイラー〉の公式で三角関数表示に直すことが問われています。

使う公式は次の通りです。

e^{iθ} = cos θ + i sin θ

したがって、指数が負の場合は、

e^{-iθ} = cos θ − i sin θ

となります。

問題の核関数は、

e－i2πux

です。

ここで、

θ = 2πux

とおくと、

e－i2πux = e^{-iθ}

です。

Euler の公式より、

e^{-iθ} = cos θ − i sin θ

なので、

e－i2πux = cos（2πux）− i sin（2πux）

となります。

選択肢の表記に合わせると、

cos（2πux）－ isin（2πux）

です。

したがって、正答は 4 です。

ひっかけポイント
指数部が −i なので、sin の前は マイナスになります。
e^{+iθ} と e^{-iθ} の符号を取り違えないようにします。

1．誤り。
虚数単位 i が含まれていません。複素指数関数の展開では、sin 項に i が付きます。

2．誤り。
虚数単位 i が含まれていません。e－i2πux は実数関数だけでは表されません。

3．誤り。
cos（2πux）＋ isin（2πux）は e^{+i2πux} の形です。問題の指数部は負なので符号が逆です。

4．正しい。
e－i2πux は Euler の公式より、cos（2πux）－ isin（2πux）と表されます。

5．誤り。
cos（－2πux）－ isin（－2πux）は、三角関数の性質を整理すると cos（2πux）＋ isin（2πux）となり、e^{+i2πux} に対応します。問題の式とは一致しません。